*. Elevii unei clase au desenat în curtea şcolii mai multe cercuri. Dacă se aşază câte 3 elevi cerc rămân 8 elevi în afara cercurilor, iar dacă se aşază câte 5 elevi în cerc atunci un cerc rămâne liber şi în altul sunt numai 4 copii. Câţi elevi şi câte cercuri sunt?
Presupun că sunt 10 cercuri.
În prima situaţie ar fi 3 X 10 + 8 = 38 elevi
În a doua situaţie: 10- 2 (un cerc liber plus unul incomplet, cu 4 copii)= 8 cercuri complete
8 X 5= 40 copii în 3 cercuri
40 + 4 (elevi în cercul incomplet) = 44 elevi
Observ că numărul de elevi diferă, deci presupunerea este falsă, diferenţa fiind
44-38= 6
Presupun că sunt 9 cercuri.
În prima situaţie ar fi 3 X 9 + 8 = 35 elevi
În a doua situaţie: 9- 2 (un cerc liber plus unul incomplet, cu 4 copii)= 7 cercuri complete
7 X 5= 35copii în 3 cercuri
35 + 4 (elevi în cercul incomplet) = 39 elevi
Observ că diferenţa s-a micşorat: 39-35= 4
De asemenea, observ că dacă micşorez cu 1 numărul de cercuri, diferenţa dintre cele două situaţii se micşorează cu 2. Rezultă că, pentru a face ca diferenţa să fie 0, trebuie să mai scad numărul de cercuri cu 2.
Deci, presupun că sunt 7 cercuri.
În prima situaţie ar fi 3 X 7 + 8 = 29 elevi
În a doua situaţie: 7- 2 (un cerc liber plus unul incomplet, cu 4 copii)= 5 cercuri complete
5 X 5= 25 copii în 3 cercuri
25 + 4 (elevi în cercul incomplet) = 29 elevi (ca şi în prima situaţie)
Deci: sunt 29 elevi şi 7 cercuri
R: 29 elevi
7 cercuri
*. 300 de grinzi, unele de brad şi altele de stejar, cântăresc 10 524 kg. O grindă de brad cântăreşte 28 kg, iar una de stejar, 46 kg. Câte grinzi de fiecare fel sunt?
Rezolvare:
Presupun că sunt doar grinzi de stejar: înseamnă că sunt 300 de grinzi.
300 X 46 kg = 13 800 (kg cântăresc 300 grinzi de stejar)
Observ că, de fapt toate grinzile cântăresc 10 524 kg. Aflăm diferenţa dintre masa grinzilor presupuse şi masa reală (din datele problemei)
13 800 – 10 524 = 3 276 (kg diferenţa totală)
Această diferenţă se datorează faptului că sunt şi grinzi de brad, care cântăresc 28 kg fiecare. Aflăm care este diferenţa dintre masa unei grinzi de brad şi a uneia de stejar.
46 – 28 = 18 (kg, diferenţa dintre o grindă de stejar şi una de brad)
Împart diferenţa totală la diferenţa dintre o grindă de stejar şi una de brad pentru a afla câte grinzi de brad sunt. (Aflu de câte ori se cuprinde difernţa unitară în diferenţa totală)
3 276 : 18= 182 (grinzi de brad)
300 – 182 = 118 (grinzi de stejar)
Verificare: 182 X 28 + 118 X 46 = 5 096 + 5 428
= 10 524
Răspuns: 182 grinzi de brad
118 grinzi de stejar
*. Cu prilejul unui spectacol se constată că dacă spectatorii se aşază câte 4 pe o bancă, rămân 18 persoane în picioare, iar dacă se aşază câte 5 pe o bancă, rămân 4 bănci libere. Câte bănci sunt în sală şi câţi spectatori?
Rezolvare:
Presupun că sunt 30 de bănci (un număr la întâmplare)
Dacă se aşază câte 4 pe bancă, ar fi 30 X 4= 120 (spectatori). Îi adăugăm şi pe cei 18 care rămân în picioare, deci sunt 120 + 18 = 138 spectatori.
Dacă se aşază câte 5 pe o bancă şi sunt 26 de bănci (din 30 le scad pe cele 4 care rămân libere), vor fi
5 X 26= 130 spectatori
Observ că numărul spectatorilor este diferit în cele două situaţii (marcate prin culori diferite), diferenţa fiind de 8 spectatori, deci presupunerea este falsă.
Presupun că sunt 31 de bănci.
Dacă ar sta câte 4 spectatori, ar fi 31 X 4 + 18 = 142 spectatori
Dacă se aşază câte 5 pe 27 bănci (31 minus cele 4 care rămân libere), vor fi 5 X 27= 135 spectatori
Observ că şi această presupunere este falsă, pentru că diferă numărul de spectatori. (Diferenţa este de 7 spectatori, deci s-a micşorat cu 1, iar numărul băncilor a crescut cu 1. Deduc că numărul băncilor trebuie mărit cu 8 faţă de prima presupunere)
Presupun că sunt 38 de bănci.
4 X 38 + 18 = 170 spectatori
5 X 34 (38 minus 4 bănci libere) = 170 spectatori
Observ că numărul spectatorilor este acelaşi în ambele situaţii, deci presupunerea este corectă.
Răspuns: 38 bănci
170 spectatori
